Большая советская энциклопедия - гаусса формулы

Гаусса формулы, формулы, относящиеся к различным разделам математики и носящие имя К. Гаусса. 1) Квадратурные Г. ф. — формулы вида в которых узлы xk и коэффициенты Ak не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. Rn = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона — Котеса, узлы в квадратурных Г. ф., вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ? 0 и то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Г. ф. Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) ? 1. 2) Г. ф., выражающая полную кривизну К поверхности через коэффициенты ее линейного элемента; в координатах, для которых ds2 = l(du2 + dv2), Г. ф. имеет вид Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии поверхности. 3) Г. ф. для сумм Гаусса: Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов где р и q — нечетные простые числа, а — Лежандра символ. Она явилась первым примером применения метода тригонометрических сумм в теории чисел. Этот метод был развит далее в работах Г. Вейля и особенно И. М. Виноградова и представляет собой один из наиболее мощных методов аналитической теории чисел. 4) Г. ф. для суммы гипергеометрического ряда. Если Re (c - b - a) > 0, то где Г (х) — гамма-функция. Опубликована в 1812. С. Б. Стечкин.